Question

已知函数y=f（x）（x∈D），方程f（x）=x的根x称为函数f（x）的不动点；若a₁∈D，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），则称{a_n} 为由函数f（x）导出的数列．
设函数g（x）=，h（x）=
（1）求函数g（x）的不动点x₁，x₂；
（2）设a₁=3，{a_n} 是由函数g（x）导出的数列，对（1）中的两个不动点x₁，x₂（不妨设x₁＜x₂），数列求证是等比数列，并求；
（3）试探究由函数h（x）导出的数列{b_n}，（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．
注：已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+T=b_n，则称数列{b_n} 为周期数列，T是它的一个周期．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接解方程=x，求出对应的自变量的值即可；
（2）直接把上面的结论代入并设，求出c_n+1的表达式即可证明求证是等比数列；进而求出{a_n} 的通项公式，即可求；
（3）先利用h（x）==x，得方程有两个不相等的实数根x₁，x₂；再求出{}是等比数列，首项为，公比为；即可找到由函数h（x）导出的数列{b_n}（其中b₁=p）为周期数列的充要条件．
解答：解：（1）=x，即x²-x-2=0，得x₁=-1，x₂=2，
所以函数g（x）的不动点为x₁=-1，x₂=2．
（2）：a₁=3，a_n+1=g（a_n）=，设c_n=，
则c_n+1====c_n，c₁==4．
所以数列{}是等比数列，公比为，首项为4．
=4•得a_n=．
===2．
（3）：h（x）==x，即cx²+（d-a）x-b=0．
因为△=（d-a）²+4ac＞0，所以该方程有两个不相等的实数根x₁，x₂．
b₁=p，b_n+1=h（b_n）=，
==•，
则{}是等比数列，首项为，公比为．
因为=（）^n-1，所以=（）^n+T-1．
数列{b_n}为周期数列的充要条件是（）^n-1=（）^n+T-1，即（）^T=1．
故||=1，但x₁≠x₂，从而cx₂+d=-cx₁-d．x₁+x₂=-=-，
故d=-a．
点评：本题主要考查数列知识和函数知识，属于难题．基础较弱的学生建议只做第一，第二问．