Question

将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．
（1）求ξ=2时的概率；
（2）求ξ的概率分布及数学期望．

Answer 1

分析：（1）ξ=2时，表示有且只有两个小球的编号与盒子的编号相同，利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，可得答案．
（2）由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．

解答：解：（1）ξ=2时，表示有且只有两个小球的编号与盒子的编号相同，
共有

C

2 4

=6种情况
将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，共有

A

4 4

=24
故P（ξ=2）=

C 2 4 ×1

A 4 4

=

1

4

（2）由题意ξ可能取：0，1，2，4，则
P（ξ=1）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

P（ξ=2）=

C 2 4 ×1

A 4 4

=

1

4

P（ξ=4）=

1

A 4 4

=

1

24

P（ξ=0）=1-

1

3

-

1

4

-

1

24

=

3

8

ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	4
P	1 24	1 3	1 4	1 24

Eξ=1×

1

3

+2×

1

4

+4×

1

24

=1．

点评：此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．