Question

5．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长都等于a，D点为BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）点C到平面ADC₁的距离．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C，交AC₁于O，连接OD，运用中位线定理，以及直线和平面平行的判定定理，即可得证；
（2）利用等体积，求点C到平面ADC₁的距离．

解答 （1）证明：连接A₁C，交AC₁于O，连接OD，
由于OD是△A₁BC的中位线，则OD∥A₁B，
又OD?平面面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
则有A₁B∥平面AC₁D；
（2）解：设点C到平面ADC₁的距离为h，则
由等体积可得$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}×h$=$\frac{1}{2}×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×a$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a．

点评 本题考查线面平行的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，注意运用体积转换法，属于中档题．