Question

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围。

 

Answer 1

（1）当时，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；当时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;当时，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.（2）(e－2，1).

【解析】

试题分析：（1）先求出的导函数即为的解析式，再求出的导函数，研究的值在[0,1]上的正负变化情况，得出的单调性，根据单调性求出在[0,1]上的最小值，因导数函数参数，故需要分类讨论；（2）设函数在区间内有零点，利用=0，判定出在[0,1]间的单调性，从而得出在[0,1]间的正负变化情况，得出在[0,1]上零点的个数，结合（1）的结论，得出在零点所在区间的端点的正负，列出关于的不等式，求出的范围.

试题解析：（1）由，有

所以

因此，当x∈[0，1]时，

当时，，所以g(x)在[0，1]上单调递增

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b

当时，，所以g(x)在[0，1]上单调递减

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b

当时，令g'(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)

所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b

综上所述，当时，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；

当时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;

当时，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.

（2）设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知

f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减，

则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.

故g(x)在区间(0，x0)内存在零点，

同理，g(x)在区间(x0，1)内存在零点

所以，g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点

由（1）可知，当时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，

当时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，

所以，

此时，g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在[ln(2a)，1]上单调递增

因此，x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有

g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0

由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2有

g(0)＝1－b＝a－e＋2＞0，g(1)＝e－2a－b＝1－a＞0

解得e－2＜a＜1

当e－2＜a＜1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))，

若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])

从而f(x)在区间[0，1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))＜0

又g(0)＝a－e－2＞0，g(1)＝1－a＞0

故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各有一个零点x1和x2，

由此可知，f(x)在[0，x1]上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在[x2，1]上单调递增.

所以f(x1)＞f(0)＝0，f(x2)＜f(0)＝0

故f(x)在(x1，x2)内有零点

综上所述，a的取值范围是(e－2，1).

考点：导数的运算,导数在研究函数中的应用，函数的零点，推理论证能力，运算求解能力，创新意识，