Question

8．若不等式a+cos2x＜5-4sinx+$\sqrt{5a-4}$对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，8）
• B． （$\frac{4}{5}$，8]
• C． [$\frac{4}{5}$，8）
• D． [$\frac{4}{5}$，2）∪（8，+∞）

Answer 1

分析 把已知不等式恒成立转化为$\sqrt{5a-4}-a+5$＞4sinx+cos2x对一切x∈R恒成立，求出4sinx+cos2x的最大值，进一步转化为$\sqrt{5a-4}$＞a-2，求解此无理不等式得答案．

解答 解：不等式a+cos2x＜5-4sinx+$\sqrt{5a-4}$对一切x∈R恒成立，
等价于$\sqrt{5a-4}-a+5$＞4sinx+cos2x对一切x∈R恒成立，
令f（x）=4sinx+cos2x=-2sin²x+4sinx+1=-2（sinx-1）²+3≤3．
∴$\sqrt{5a-4}-a+5$＞3，即$\sqrt{5a-4}$＞a-2．
则$\left\{\begin{array}{l}{a-2≥0}\\{5a-4≥0}\\{5a-4＞（a-2）^{2}}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{5a-4≥0}\end{array}\right.$②．
解①得：2≤a＜8；解②得：$\frac{4}{5}$≤a＜2．
∴实数a的取值范围是[$\frac{4}{5}$，8）．
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了利用配方法求函数的最值，训练了无理不等式的解法，是中档题．