Question

19．已知函数f（x）=|x-3|+|x-2|．
（1）若f（x）≥3-k恒成立，求k的取值范围；
（2）求不等式f（x）＜3的解集．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，从而求出k的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）若f（x）≥3-k对任意x∈R恒成立，
即（|x-3|+|x-2|）_min≥3-k．
又|x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1，
（|x-3|+|x-2|）_min=1≥3-k，
解得k≥2．
（2）f（x）＜3，即|x-3|+|x-2|＜3，
x≥3时，x-3+x-2＜3，解得：3≤x＜4，
2＜x＜3时，3-x+x-2=1＜3，成立
x≤2时，3-x+2-x=5-2x＜3，解得：1＜x≤2，
故不等式的解集是：（1，4）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．