Question

7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足：$\sqrt{3}a=\sqrt{3}ccosB+bsinC$．
（1）求∠C的值；
（2）若$c=2\sqrt{3}$，求2a+b的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及和与差的公式化简，可得∠C的值；
（2）利用正弦定理将边化角，利用三角函数的有界限即可求出2a+b的最大值．

解答 解：（1）∵：$\sqrt{3}a=\sqrt{3}ccosB+bsinC$．
由正弦定理，可得：$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$sinCcosB+sinBsinC．
∵$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$sin（B+C）=$\sqrt{3}$sinCcosB+$\sqrt{3}$sinBcosC=$\sqrt{3}$sinCcosB+sinBsinC．
∴$\sqrt{3}$sinBcosC=sinBsinC．
∵0＜B＜π，sinB≠0
∴$\sqrt{3}$cosC=sinC，即tanC=$\sqrt{3}$．
∵0＜C＜π，
C=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知C=$\sqrt{3}$，应用正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴2a+b=8sinA+4sinB=8sinA+4sin（120°-A）=10sinA+2$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{1{0}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}sin（A+$θ）．
其中tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
由正弦函数的性质可得：2a+b的最大值为$4\sqrt{7}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．