Question

2．（1）若椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形，求该椭圆的离心率；
（2）已知F₁，F₂是椭圆的两焦点，过F₁且与长轴垂直的直线交椭圆与A，B两点，若△ABF₂是正三角形，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形，得到a，b，c的关系，又根据椭圆的基本性质可知a²=b²+c²，把可用b表示出c，然后根据离心率e的公式，化简求解即可．
（2）利用△ABF₂是正三角形列出方程，由此推导出这个椭圆的离心率．

解答 解：（1）由题意，∵椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形
∴$\sqrt{3}$b=c，3b²=c²，
∵a²=b²+c²=$\frac{4}{3}$c2
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由题|AF₁|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|F₁F₂|，∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2c即a²-c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac
∴c²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac-a²=0，
∴e²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$e-1=0，
解之得：e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去）．

点评 此题考查学生掌握椭圆的简单性质，离心率的求法，考查了数形结合的数学思想，是综合题．