Question

【题目】各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件：

①a1=m(mN*)；②ann-1(n≥2)；③n是a1+a2+‥+an的因数（n ≥1）．

（Ⅰ）当m=5时，写出数列{an}的前五项；

（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且n≥3时，an为常数，求m的值；

（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，an为常数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见详解.

【解析】

（Ⅰ）根据题意，即可由题意求得结果；

（Ⅱ）对的取值进行分类讨论，即可容易求得结果；

（Ⅲ）根据已知条件，结合题意，利用之间的关系，即可进行证明.

（Ⅰ）当时，，

，且是的因数，故可得；

，且是的因数，故可得；

，且是的因数，故可得；

，且是的因数，故可得；

综上可得：.

（Ⅱ）（1）当时，

若，则，

且对，都为整数，故；

若，则，

且对，都为整数，故；

（2）当时，

若，则，

且对，都为整数，故，不符合题意；

若，则，

且对，都为整数，故；

综上所述：的值为.

（Ⅲ）证明：对于，令

则

又对每一个都是正整数，

故其中至多出现个.

故存在正整数，当时，必有

当时，则

故

则

有题设可知

，

又以及均为整数，

都为常数.

故可得为常数.

故对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，an为常数．