Question

【题目】已知函数.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）恒成立，等价于时，；当时，，令，注意，对分类讨论求出单调性即可求解；

（2）求，得到的单调区间，进而求出两零点的范围是，利用（1）的结论，，可得，再由在减函数，可得，得到，建立不等量关系，即可证明结论.

（1）由题意可得的定义域为，

恒成立，即恒成立，

当时，即；当时，即，

构造函数，

，

令，可知在单调递减，在单调递增，

当时，，则单调递增，故满足题意，

当时，，

方程有两个不相等的正根，，

由于，所以，因此在单调递增，

在单调递减，单调递增，

因此，，不满足题意，

综上：.

（2）由（1）可得，，

令，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，，

又，

，

所以在和各存在一个零点，由题设可知，

因此，则…①，

因为在单调递减，因此，

即，

所以…②，

由①②可得：，

化简可得.