Question

若x、y、z均为正实数，则

xy+yz

x2+y2+z2

的最大值为（　　）

A． 2 2

B． 2

C．2 2

D．2 3

Answer 1

法1、设

xy+yz

x2+y2+z2

≤

1

a

恒成立，此不等式可化为
x²+y²+z²-axy-ayz≥0
即 (x-

ay

2

)2+(z-

a

2

y)2+(1-

1

2

a2)y2≥0恒成立
由于 (x-

ay

2

)2+(z-

a

2

y)2≥ 0，
故 (1-

1

2

a2)y2≥0
于是有

1

a

≤

2

2

故

xy+yz

x2+y2+z2

≤

2

2

恒成立．
法2、

xy+yz

x2+y2+z2

=

2 y(x+z)

2 (x2+y2+z2)

≤

2y2(x+z)2

2 (x2+y2+z2)

=

2y2(x2+2xz+z2)

2 2 (x2+y2+z2)

≤

2(y2+x2+z2)

2 2 (x2+y2+z2)

=

2

2

，
当且仅当当且仅当x=z=

2

2

y，等号成立，
∴

xy+yz

x2+y2+z2

的最大值为

2

2

故选A