Question

若x、y、z均为正实数，则

xy+yz

x2+y2+z2

的最大值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

• C、2

  2

• D、2

  3

Answer 1

分析：法1、根据题意，设出函数的最大值，列出不等式恒成立；将不等式变形，经过配方，要是不等式恒成立，需要 (1-

1

2

a2) ≥0，求出a的范围，其倒数为最大值的范围．
法2、利用基本不等式对

xy+yz

x2+y2+z2

进行化简，注意对原式进行配凑为

2y (x+z)

2 (x2+y2+z2)

．

解答：解：法1、设

xy+yz

x2+y2+z2

≤

1

a

恒成立，此不等式可化为
x²+y²+z²-axy-ayz≥0
即 (x-

ay

2

)2+(z-

a

2

y)2+(1-

1

2

a2)y2≥0恒成立
由于 (x-

ay

2

)2+(z-

a

2

y)2≥ 0，
故 (1-

1

2

a2)y2≥0
于是有

1

a

≤

2

2

故

xy+yz

x2+y2+z2

≤

2

2

恒成立．
法2、

xy+yz

x2+y2+z2

=

2 y(x+z)

2 (x2+y2+z2)

≤

2y2(x+z)2

2 (x2+y2+z2)

=

2y2(x2+2xz+z2)

2 2 (x2+y2+z2)

≤

2(y2+x2+z2)

2 2 (x2+y2+z2)

=

2

2

，
当且仅当当且仅当x=z=

2

2

y，等号成立，
∴

xy+yz

x2+y2+z2

的最大值为

2

2

故选A

点评：本题考查将函数的最值问题转化为不等式恒成立问题，体现了转化的数学思想、同时考查对二次函数配方的处理方法以及运算能力．属难题