Question

【题目】数列： 满足： ．记的前项和为，并规定．定义集合， ， ．

（Ⅰ）对数列： ， ， ， ， ，求集合；

（Ⅱ）若集合， ，证明： ；

（Ⅲ）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）根据题中所给的定义，即可求出结果；（Ⅱ）根据所给的条件，由集合的定义知，再结合，可推出；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，进一步求出关系，即集合的最小值．

（Ⅰ）因为， ， ， ， ， ，

所以．

（Ⅱ）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，

所以．

又因为 ，所以所以．

（Ⅲ）因为，所以非空．

设集合，不妨设，则由（Ⅱ）可知，

同理，且．

所以 ．

因为，所以的元素个数．

取常数数列： ，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为．

综上， 的元素个数的最小值为．