Question

函数y=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3．
（1）求此函数解析式；
（2）写出该函数的单调递增区间；
（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（ω

-m2+2m+3

+φ）＞Asin（ω

-m2+4

+φ）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；
（2）令 2kπ-

π

2

≤

1

5

x+

3π

10

≤2kπ+

π

2

，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；
（3）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析ω

-m2+2m+3

+φ和ω

-m2+4

+φ的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．

解答：解：（1）∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3．
∴A=

1

2

[3-（-3）]=3，

T

2

=5π，
∴T=10π=

2π

ω

，
∴ω=

2π

10π

=

1

5

，
∵当x=π时，y有最大值3，
∴

1

5

π+?=

π

2

，
∴?=

3π

10

，
∴y=3sin（

1

5

x+

3π

10

），
（2）令 2kπ-

π

2

≤

1

5

x+

3π

10

≤2kπ+

π

2

得10kπ-4π≤x≤10kπ+π，k∈Z
∴函数的单调递增区间为：{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π   k∈Z}；
（3）∵ω=

1

5

，?=

3π

10

，
∴ω

-m2+2m+3

+?=

1

5

-(m-1)2+4

+

3π

10

∈（0，

π

2

），
ω

-m2+4

+?=

1

5

-m2+4

+

3π

10

∈（0，

π

2

），
而y=sint在（0，

π

2

）上是增函数
∴

1

5

-m2+2m+3

+

3π

10

＞

1

5

-m2+4

+

3π

10

，
∴

-m2+2m+3

＞

-m2+4

∴

-m2+2m+3≥0 -m2+4≥0 -m2+2m+3＞-m2+4

，
∴

-1≤m≤3 -2≤m≤2 m＞ 1 2

解得：

1

2

＜m≤2．
∴m的取值范围是

1

2

＜m≤2．

点评：本题考查根据y=Asin（ωx+φ）的图象求函数的解析式以及求函数的单调区间，问题（3）的设置，增加了题目的难度和新意，易错点在于对ω

-m2+2m+3

+φ∈（0，

π

2

），ω

-m2+4

+φ∈（0，

π

2

）的分析与应用，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，体现了转化的数学思想方法，属于难题．