Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos ．
（1）若a=3，b= ，求c的值；
（2）若f（A）=sinA（ cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，A+B+C=π，

∴cos =cos =sin = ，

∴ = ，即B= ，

∵a=3，b= ，cosB= ，

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即7=9+c2﹣3c，

整理得：c2﹣3c+2=0，

解得：c=1或c=2

（2）解：f（A）=sinA（ cosA﹣sinA）= sin2A﹣ =sin（2A+ ）﹣ ，

由（1）得B= ，

∴A+C= ，即A∈（0， ），

∴2A+ ∈（ ， ），

∴sin（2A+ ）∈（﹣1，1]，

∴f（A）∈（﹣ ， ]，

∴f（A）的取值范围是（﹣ ， ]

【解析】（1）已知等式左边变形后，利用诱导公式化简求出sin 的值，确定出B的度数，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值即可；（2）f（A）解析式去括号后，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，根据B的度数表示出A+C的度数，确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的范围．