【题目】如图,正三棱柱中为的中点。
(1)求证:;
(2)若点为四边形内部及其边界上的点,且三棱锥的体积为三棱柱体积的,试在图中画出点的轨迹,并说明理由。
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)取的中点,连接,由为正三角形可得,又,从而可得平面,所以.在正方形中可证得,然后根据线面垂直的判定定理得到平面,故得.(2)取中点,连接,则线段为点的运动轨迹,然后根据线面平行的性质可证得结论成立.
解法一:(1)证明:取的中点,连接,
∵平面,平面,
∴.
∵为正三角形,为的中点,
∴,
又∵平面,,
∴平面,
又平面,
∴
在正方形中,可得,
∴,
又∵,
∴,故,
又,平面,
∴平面,
∵平面,
∴.
(2)取中点,连接,则线段为点的运动轨迹.理由如下:
∵,平面,平面,
∴平面,
∴到平面的距离为.
∴.
故线段为点的运动轨迹.
解法二:(1)证明:取的中点,连接,
∵为正三角形,为的中点,
∴.
∵在正三棱柱中,平面平面,平面平面,平面,
∴平面,
∴.
在正方形中,因为,
∴,
又,
∴,
∴,
又,平面,
∴平面,
又,
∴.
(2)取中点,连接,则线段为点的运动轨迹.理由如下:
设三棱锥的高为,
依题意得,
∴.
∵分别为中点,
∴,
又平面,平面,
∴平面,
∴点到平面的距离为.
故线段为点的运动轨迹.
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【题目】下列四个命题中正确的是______.
①已知定义在R上的偶函数,则;
②若函数,,值域为,且存在反函数,则函数,与函数,是两个不同的函数﹔
③已知函数,既无最大值,也无最小值;
④函数的所有零点构成的集合共有4个子集.
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【题目】在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击相互独立,且命中概率都是,求(1)油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为,求的分布列.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣1|+a|x﹣1|
(I)当a=1时,解关于x的不等式f(x)≥4
(II)若f(x)≥|x﹣2|的解集包含[ ,2],求实数a的取值范围.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cos .
(1)若a=3,b= ,求c的值;
(2)若f(A)=sinA( cosA﹣sinA),求f(A)的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= ,a,b∈R,a≠0,b≠0,f(1)= ,且方程f(x)=x有且仅有一个实数解;
(1)求a、b的值;
(2)当x∈( , ]时,不等式(x+1)f(x)>m(m﹣x)﹣1恒成立,求实数m的范围.
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【题目】(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)
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