【题目】已知空间9点集,其中任意四点不共面.在这9个点间联结若干条线段,构成一个图G,使图中不存在四面体.问图G中最多有多少个三角形?
【答案】27
【解析】
在一个n个点的空间图中不存在三角形,则其边数不超过.
证明:设这n个点为,其中从
引出的边数最多,不妨设共有k条:
.依条件,不存在三角形,那么,点
之间没有边相连.从而,空间图中每条边均至少有一个端点为
中的点而每个
至多引出k条边.因此,总边数小于或等于k
下面证明空间9点集M中,若任意4点不共面,在这9点间联结若干条线段,如果图G中已有(至少)28个三角形,则至少有一个四面体.
用反证法.
假设不存在一个四面体,在9点集中,由抽屉原理知,其中必有一点为至少
个三角形的顶点.从而,由这个点至少引出5条边,设这个点为
(1).若从点引出5条边
,依题意,由于没有四面体,那么,由
这5个点构成的子图中没有三角形.由前面的结论知,这个子图中至多有
条边.从而.以
为顶点的三角形至多有6个,矛盾.
(2)若从点引出6条边
,类似(1),至多有
个三角形以
为顶点,矛盾.
(3)若从点引出7条边
,由于没有四面体,可知
这7个点构成的子图中没有三角形,这个子图至多有
条边.从而,以
为顶点的三角形至多有12个,不以
为顶点的三角形必以点
为一个顶点.类似地也至多有12个三角形,那么,三角形总数小于或等于12×2-24<28,矛盾.
(4)若从点引出8条边
,这时,
,A这8个点构成的子图中没有三角形.由前面的结论知,至多有
条边.从而,原图G中至多有16个三角形,矛盾.
于是,满足要求的三角形至多有27个.
将9点集M分成三组,
,
,使同组中任两点不连线,而不同组中的两点均连线,这样有
个三角形,当然没有四面体.
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【题目】某商场为了了解某日旅游鞋的销售情况,抽取了部分顾客所购鞋的尺寸,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示.已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第4小组与第5小组的频率分布如图所示,第2小组的频数为10,则第4小组顾客的人数是______.
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【题目】某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环、7环的概率分别是0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率; (2)不够7环的概率.
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【题目】已知 的内切圆
切边
于点
, 而
是边
上的任意内点.设
和
的内切圆圆心分别是
和
.
(1)求证:∠I1DI2 =90°(即、
、
、
四点共圆);
(2)设、
、
、
四点所在的圆周的半径为
, 而
的内切圆半径为
,试求
的取值范围(
取遍各种形状的三角形,点
取遍边
上的每一个内点).
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【题目】若函数在其定义域内给定区间
上存在实数
.满足
,则称函数
是区间
上的“平均值函数”,
是它的一个均值点.
(1)判断函数是否是区间
上的“平均值函数”,并说明理由
(2)若函数是区间
上的“平均值函数”,求实数
的取值范围.
(3)设函数是区间
上的“平均值函数”,1是函数
的一个均值点,求所有满足条件实数对
.
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【题目】《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事:“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马”.若双方各自拥有上、中、下等马各1匹,从中随机选1匹进行1场比赛,则齐王的马获胜的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】设数列前
项和为
,对任意
,点
都在函数
图像上.
(1)求、
、
,并猜想数列
的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)的猜想;
(3)若数列满足:
,
,且对任意的
,都有
、
、
成公比为
的等比数列,
、
、
成等差数列,设
,求数列
的通项公式.
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