Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂=b₂，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a1，a3，an1，an2，…，ank，…（3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…）成等比数列，求数列{n_k}的通项公式；
（Ⅲ）若a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，且至少存在三个不同的b值使得等式a_m+t=b_n（t∈N）成立，试求a、b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件得：

a=b a+b=ab

，由此解得a_n=2n，b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ank=2•3k+1，再由ank=2nk知2n_k=2•3^k+1，所以n_k=3^k+1．
（Ⅲ）由题设条件可知1＜1+

1

b-1

=

b

b-1

＜a＜

2b

b-1

=2+

2

b-1

≤4，所以满足条件的a=2．再由a_m=2+b（m-1），b_n=b•2^n-1，知（2^n-1-m+1）b=2+t．由此可导出满足条件的最小整数为12，所以t的最小值为10，此时b=3或4或12．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=b₁，a₂=b₂得：

a=b a+b=ab

，
解得：a=b=0或a=b=2，∵a，b∈N⁺，
∴a=b=2，从而a_n=2n，b_n=2ⁿ
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a₁=2，a₃=6，∴a1，a3，an1，an2，，ank，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：ank=2•3k+1
又ank=2nk，故2n_k=2•3^k+1，∴n_k=3^k+1
（Ⅲ）由a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃得：a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
由a+b＜ab得：a（b-1）＞b；由ab＜a+2b得：a（b-1）＜2b，
而a，b∈N^*，a＜b，即：b＞a≥1，从而得：1＜1+

1

b-1

=

b

b-1

＜a＜

2b

b-1

=2+

2

b-1

≤4，
∴a=2，3，当a=3时，b=2不合题意，故舍去，
所以满足条件的a=2．
又∵a_m=2+b（m-1），b_n=b•2^n-1，故2+b（m-1）+t=b•2^n-1，
即：（2^n-1-m+1）b=2+t
①若2^n-1-m+1=0，则t=-2∉N，不合题意；
②若2^n-1-m+1≠0，则b=

2+k

2n-1-m+1

，由于2^n-1-m+1可取到一切整数值，且b≥3，
故要至少存在三个b使得a_m+t=b_n（t∈N）成立，
必须整数2+t至少有三个大于或等于3的不等的因数，
故满足条件的最小整数为12，所以t的最小值为10，此时b=3或4或12．

点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．