Question

10．在数列$\{{a_n}\}中，{a_1}=1，{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{4{a_n}}}，{b_n}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}，其中n∈{N^*}$．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）直接利用作差法结合数列递推式即可证明数列{b_n}是等差数列，求出其通项公式后代入${b}_{n}=\frac{2}{2{a}_{n}-1}$得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）把数列{a_n}的通项公式a_n代入c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$，得到{c_nc_n+2}的通项公式，然后利用裂项相消法求前n项和T_n，则答案得证．

解答 证明：（1）∵b_n+1-b_n=$\frac{2}{2{a}_{n+1}-1}-\frac{2}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{2}{2-（1-\frac{1}{4{a}_{n}}）-1}-\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{4{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}-\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=2，
∴数列{b_n}是等差数列，
∵a₁=1，∴${b}_{1}=\frac{2}{2{a}_{1}-1}=2$，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
由${b}_{n}=\frac{2}{2{a}_{n}-1}$得，$2{a}_{n}-1=\frac{2}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{n+1}{2n}$；
（2）c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{4•\frac{n+1}{2n}}{n+1}=\frac{2}{n}$，
则c_nc_n+2=$\frac{2}{n}•\frac{2}{n+2}=\frac{4}{n（n+2）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴${T}_{n}=2（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$2（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=3-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$＜3．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．