Question

5．已知函数f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx的一条对称轴为x=-$\frac{π}{6}$，且f（x₁）•f（x₂）=-4，则|x₁+x₂|的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{2}{3}π$
• D． $\frac{4}{3}π$

Answer 1

分析 首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．

解答 解：f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx
=$\sqrt{{a}^{2}+3}sin（x+θ）$，
由于函数的对称轴为：x=-$\frac{π}{6}$，
所以$f（-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}$，
则：$|-\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}|=\sqrt{{a}^{2}+3}$，
解得：a=1．
所以：f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
由于：f（x₁）•f（x₂）=-4，
所以函数必须取得最大值和最小值，
所以：${x}_{1}=2kπ+\frac{5π}{6}$或${x}_{2}=2kπ-\frac{π}{6}$
所以：|x₁+x₂|=4k$π+\frac{2π}{3}$，
当k=0时，最小值为$\frac{2π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用对称轴求函数的解析式，利用三角函数的最值确定结果．