Question

13．已知F为抛物线C：y²=4x的焦点，点E在点C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线于C的准线交于点Q（-1，$\frac{3}{2}$），与C交于点P，则△PEF的面积为（　　）

• A． 5
• B． 10
• C． 15
• D． 20

Answer 1

分析 由抛物线方程求出焦点坐标，设出E的坐标（-1，m），利用EF和QP垂直求得m的值，则EF、QP的方程可求，求出EF的长度，求出P的坐标，由三角形的面积公式求得△PEF的面积．

解答 解：如图，
由抛物线方程为y²=4x，得F（1，0），设E（-1，m）（m＞0），
则EF中点为G（0，$\frac{m}{2}$），${k}_{EF}=-\frac{m}{2}$，又Q（-1，$\frac{3}{2}$），
∴${k}_{QG}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{m}{2}}{-1-0}=\frac{m-3}{2}$，则$-\frac{m}{2}•\frac{m-3}{2}=-1$，解得：m=4．
∴E（-1，4），
则|EF|=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（4-0）^{2}}=2\sqrt{5}$，
直线EF的方程为$\frac{y-0}{4-0}=\frac{x-1}{-1-1}$，化为一般式得：2x+y-2=0．
QG所在直线方程为y-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}（x+1）$，即x-2y+4=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，即P（4，4），
∴P到直线EF的距离为d=$\frac{|2×4+4-2|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$．
则△PEF的面积为$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}=10$．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．