Question

17．已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，则其通项公式为a_n=$\frac{3}{6n-5}$．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式取倒数，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以2为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式可得数列{a_n}的通项a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+2$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$，
又a₁=3，∴$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}$，
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{3}+2（n-1）=\frac{6n-5}{3}$，
则${a}_{n}=\frac{3}{6n-5}$．
故答案为：$\frac{3}{6n-5}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．