Question

7．当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，$\frac{si{n}^{2}x+1}{sinx}$的取值范围为（2，+∞）．

Answer 1

分析 换元可得sinx=t∈（0，1），则原式=t+$\frac{1}{t}$，由“对勾函数”的单调性可得．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴0＜sinx＜1，
∴$\frac{si{n}^{2}x+1}{sinx}$=sinx+$\frac{1}{sinx}$，
令sinx=t，则t∈（0，1），
∴sinx+$\frac{1}{sinx}$=t+$\frac{1}{t}$，
∵函数y=t+$\frac{1}{t}$在t∈（0，1）单调递减，
∴y=t+$\frac{1}{t}$＞2，
∴$\frac{si{n}^{2}x+1}{sinx}$的取值范围为：（2，+∞）
故答案为：（2，+∞）

点评 本题考查三角函数的最值，涉及“对勾函数”的单调性，属中档题．