Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，
PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如图，以点C为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CP}$分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2$\sqrt{2}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．…（5分）
（Ⅱ）如图，以点C为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CP}$分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，-2，0）．
设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，-1，a），$\overrightarrow{CA}$=（2，2，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，2a），$\overrightarrow{CE}$=（1，-1，a）．
取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CP}$=0，$\overrightarrow{m}$为面PAC的法向量．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面EAC的法向量，则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CE}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y+az=0\end{array}\right.$，取x=a，y=-a，z=-2，则$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
依题意，|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}$=$\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，则a=2．   …（10分）
于是n=（2，-2，-2），$\overrightarrow{PA}$=（2，2，-4）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow n|}}{{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow n|}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．…（13分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．