Question

18．已知a＞b，n∈N，n＞1，且n为奇数，求证：aⁿ＞bⁿ，$\root{n}{a}$＞$\root{n}{b}$．

Answer 1

分析 分类讨论，利用指数函数的单调性，即可证明结论．

解答 证明：a＞b＞0时，$\frac{a}{b}$＞1，
∵n∈N，n＞1，且n为奇数，∴（$\frac{a}{b}$）ⁿ＞1，∴aⁿ＞bⁿ；
0＞a＞b时，0＜$\frac{a}{b}$＜1，
∵n∈N，n＞1，且n为奇数，∴（$\frac{a}{b}$）ⁿ＜1，∴aⁿ＞bⁿ；
a＞0＞b时，aⁿ＞0＞bⁿ，∴aⁿ＞bⁿ；
综上，∴aⁿ＞bⁿ；
同理可得，$\root{n}{a}$＞$\root{n}{b}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．