Question

10．如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面SAD；
（Ⅱ）若Q为SB上一动点，且PQ∥面SCD，求证：Q为SB的中点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若△SAD是边长为4的等边三角形，求四面体S-CPQ的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正方形的性质得CD⊥AD，再由已知平面SAD⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质及线面垂直的判断证得答案；
（Ⅱ）要证Q为SB的中点，可运用T为BC的中点这一条件，问题转化为证明QT∥SC，可证面PQT∥面SCD，取BC中点T，连接PT，QT后线面平行及面面平行的判断证明；
（Ⅲ）直接由${V}_{S-CPQ}={V}_{Q-SCP}=\frac{1}{2}{V}_{B-SCP}=\frac{1}{2}{V}_{S-CPB}$求解．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
由四边形ABCD为正方形，得CD⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD，
且平面SAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面SAD；
（Ⅱ）证明：取BC中点T，连接PT，QT，由于P，T分别是AD，BC的中点，
∴PT∥CD，又PT?面SCD，CD?面SCD，
∴PT∥面SCD，又PQ∥面SCD，PT∩PQ=P，
∴面PQT∥面SCD，则QT∥SC，
又T为BC的中点，∴Q为SB的中点；
（Ⅲ）解：${V}_{S-CPQ}={V}_{Q-SCP}=\frac{1}{2}{V}_{B-SCP}=\frac{1}{2}{V}_{S-CPB}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．