Question

15．已知函数f（x）=sinx-a（0$≤x≤\frac{5π}{2}$）的三个零点成等比数列，则log${\;}_{\sqrt{2}}$a=-1．

Answer 1

分析 不妨设函数f（x）=sinx-a，（0$≤x≤\frac{5π}{2}$）的三个零点从小到大依次为x₁，x₂，x₃，从而由三角函数的性质及等比数列可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=π}\\{{x}_{2}+{x}_{3}=3π}\\{{{x}_{2}}^{2}={x}_{1}{x}_{3}}\end{array}\right.$，从而解得x₂=$\frac{3π}{4}$，
从而求出a的值，再求对数即可．

解答 解：设函数f（x）=sinx-a，（0$≤x≤\frac{5π}{2}$）的三个零点从小到大依次为x₁，x₂，x₃，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=π}\\{{x}_{2}+{x}_{3}=3π}\\{{{x}_{2}}^{2}={x}_{1}{x}_{3}}\end{array}\right.$，
解得，x₂=$\frac{3π}{4}$，
∴a=sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴log${\;}_{\sqrt{2}}$a=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-1；
故答案为：-1．

点评 本师考查了三角函数的性质及等比数列的性质应用，属于基础题．