Question

5£®Èô¡÷ABCÍâ½ÓÔ²µÄÔ²ÐÄΪO£¬°ë¾¶Îª4£¬$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$£¬Ôò$\overrightarrow{CA}$ÔÚ$\overrightarrow{CB}$·½ÏòÉϵÄͶӰΪ£¨¡¡¡¡£©

• A£® 1
• B£® $\sqrt{7}$
• C£® $\sqrt{15}$
• D£® 4

Answer 1

·ÖÎö ÈçͼËùʾ£¬ÀûÓÃÏòÁ¿µÄÈý½ÇÐη¨Ôò¿ÉµÃ£º$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}£¨\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}£©$£¬È¡BCµÄÖеãD£¬Á¬½ÓOD²¢ÑÓ³¤µ½µãE£¬Ê¹µÃ$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OD}$£¬ÔòOD¡ÍBC£¬$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$£®¿ÉµÃ$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OD}$£¬¿ÉµÃ$\overrightarrow{OD}$£¬CD£¬¿ÉµÃÏòÁ¿$\overrightarrow{CA}$ÔÚ$\overrightarrow{CB}$·½ÏòÉϵÄͶӰ£®

½â´ð ½â£ºÈçͼËùʾ£¬
¡ß$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$£¬
¡à$\overrightarrow{OA}$+$2£¨\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}£©$+$2£¨\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}£©$=$\overrightarrow{0}$£¬
¡à$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}£¨\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}£©$£¬
È¡BCµÄÖеãD£¬Á¬½ÓOD²¢ÑÓ³¤µ½µãE£¬Ê¹µÃ$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OD}$£¬
ÔòOD¡ÍBC£¬$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$£®
¡à$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OD}$£¬
¡à$|\overrightarrow{OD}|$=$\frac{3}{4}|\overrightarrow{AO}|$=3£¬
¡àCD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$£®
¡à$\overrightarrow{CA}$ÔÚ$\overrightarrow{CB}$·½ÏòÉϵÄͶӰΪ$\sqrt{7}$£¬
¹ÊÑ¡£ºB£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁËÁâÐεÄÐÔÖÊ¡¢ÏòÁ¿µÄƽÐÐËıßÐη¨Ôò¡¢Èý½ÇÐÎÍâÐĵÄÐÔÖÊ¡¢ÏòÁ¿µÄͶӰ¡¢¹´¹É¶¨Àí¡¢ÏòÁ¿¹²Ï߶¨Àí£¬¿¼²éÁËÍÆÀíÄÜÁ¦Óë¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮