Question

17．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，且最大边长为14，则△ABC的面积是15$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由sinA：sinB：sinC=3：5：7，利用正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，且最大边长为14，可得a=6，b=10，c=14，再利用余弦定理可得C，利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，
由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，且最大边长为14，
∴a=6，b=10，c=14，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{6}^{2}+1{0}^{2}-1{4}^{2}}{2×6×10}$=-$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$
=$\frac{1}{2}×6×10sin\frac{2π}{3}$
=$15\sqrt{3}$．
故答案为：15$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．