Question

20．在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值范围是$（2\sqrt{3}，3\sqrt{2}）$．．

Answer 1

分析 根据三角形为锐角三角形，解不等式得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$．再由正弦定理，得BC=$\frac{3}{cosA}$，结合余弦函数的单调性加以计算，即可得到BC的取值范围．

解答 解：∵锐角△ABC中，B=2A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{0＜A＜\frac{π}{2}}{0＜2A＜\frac{π}{2}}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解之得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，
∵AC=1，且 $\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，
∴BC=$\frac{ACsinA}{sinB}$=6•$\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{3}{cosA}$，
∵$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2$\sqrt{3}＜$$\frac{3}{cosA}$＜3$\sqrt{2}$，得BC=$\frac{3}{cosA}$∈（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{2}$），
故答案为：$（2\sqrt{3}，3\sqrt{2}）$．

点评 本题给出锐角三角形的一个角是另一角的二倍，求边BC的取值范围，着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．