Question

3．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁•a₂•a₃…a_n=2${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N^*），若{a_n}为等比数列，且a₁=2，b₃=3+b₂．
（1）求a_n和b_n；
（2）设c_n=$\frac{{b}_{n}-{a}_{n}}{{a}_{n}•{b}_{n}}$（n∈N^*），记数列{c_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，利用数列{a_n}和{b_n}满足a₁•a₂•a₃…a_n=2${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N^*），a₁=2，可得b₁=1，${a}_{2}={2}^{{b}_{2}-{b}_{1}}$=2q＞0，${a}_{3}={2}^{{b}_{3}-{b}_{2}}$=2q²，解得q=2．可得a_n=2ⁿ．进而得到b_n．
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵数列{a_n}和{b_n}满足a₁•a₂•a₃…a_n=2${\;}^{{b}_{n}}$（n∈N^*），a₁=2，
∴${a}_{1}={2}^{{b}_{1}}$，${a}_{1}{a}_{2}={2}^{{b}_{2}}$，${a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}={2}^{{b}_{3}}$，
∴b₁=1，${a}_{2}={2}^{{b}_{2}-{b}_{1}}$=2q＞0，${a}_{3}={2}^{{b}_{3}-{b}_{2}}$=2q²，
又b₃=3+b₂．∴2³=2q²，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
∴${2}^{{b}_{n}}$=a₁•a₂•a₃…a_n=2×2²×…×2ⁿ=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$，
∴${b}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）c_n=$\frac{{b}_{n}-{a}_{n}}{{a}_{n}•{b}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{c_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$-2+$\frac{2}{n+1}$
=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．