Question

11．已知动圆P与圆C₁：（x+5）²+y²=49和圆C₂：（x-5）²+y²=1，分别求满足下列条件的动圆圆心P的轨迹方程．
（1）圆P与圆C₁，圆C₂都外切；
（2）圆P与圆C₁，圆C₂都内切；
（3）圆P与圆C₁外切，圆C₂内切．

Answer 1

分析 （1）设动圆的半径为r，由题意利用两圆向外切的性质可得PC₁-PC₂=6＜AB=10，可得点P的轨迹，求出a、b的值，可得圆心的轨迹方程；
（2）设动圆的半径为r，由题意利用两圆向外切的性质可得PC₂-PC₁=6＜AB=10，可得点P的轨迹，求出a、b的值，可得圆心的轨迹方程；
（3）设动圆的半径为r，由题意利用两圆向外切的性质可得PC₁-PC₂=8＜AB=10，可得点P的轨迹，求出a、b的值，可得圆心的轨迹方程．

解答 解：（1）设动圆的半径为r，圆心为P（x，y），由题意利用两圆外切的性质可得
PC₁=7+r，PC₂=1+r，∴PC₁-PC₂=6＜AB=10，
故点P的轨迹是以C₁、C₂为焦点的双曲线的右支，根据c=5，2a=6，
可得a=3，b=4，故圆P的圆心的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x≥3）；
（2）由题意利用两圆内切的性质可得
PC₁=r-7，PC₂=r-1，∴PC₂-PC₁=6＜AB=10，
故点P的轨迹是以C₁、C₂为焦点的双曲线的左支，根据c=5，2a=6，
可得a=3，b=4，故圆P的圆心的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x≤3）；
（3）由题意，利用圆P与圆C₁外切，圆C₂内切可得
PC₁=7+r，PC₂=r-1，∴PC₁-PC₂=8＜AB=10，
故点P的轨迹是以C₁、C₂为焦点的双曲线的右支，根据c=5，2a=8，
可得a=4，b=3，故圆P的圆心的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$（x≥4）；

点评 本题主要考查两圆相切的性质，双曲线的定义、标准方程，属于中档题．