Question

16．已知点A（1，2），B（-3，-1），若圆x²+y²=r²（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（1，3）．

Answer 1

分析 先求得|AB|=5，根据题意可得两点M，N到直线AB的距离为2．求出AB的方程为3x-4y+5=0，当圆上只有3个点到直线AB的距离为2时，求得r的值，即可求得满足条件的r的取值范围．

解答 解：由题意可得|AB|=$\sqrt{（-3-1）^{2}+（-1-2）^{2}}$=5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，
可得两点M，N到直线AB的距离为2．
由于AB的方程为$\frac{y+1}{2+1}=\frac{x+3}{1+3}$，即3x-4y+5=0．
若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，
则有圆心（0，0）到直线AB的距离$\frac{5}{\sqrt{9+16}}$=r-2，解得r=3，
又圆上的点到AB的距离最大值为1+r（只有一个点），故当r≤1时1+r≤2，不可能存在两点到AB的距离都是2．
故r＞1
此时AB与圆相交
要满足题意，则r-1＜2得r＜3
∴1＜r＜3
故答案为：（1，3）．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．