Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}（x≤0）}\\{\sqrt{x}（x＞0）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-b有且仅有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可转化为函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}，x≤0}\\{\sqrt{x}，x＞0}\end{array}\right.$与函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可．

解答 解：∵函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-b有且仅有两个零点，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}，x≤0}\\{\sqrt{x}，x＞0}\end{array}\right.$与函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象有且仅有两个交点，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{-x}，x≤0}\\{\sqrt{x}，x＞0}\end{array}\right.$与函数y=$\frac{1}{2}$x+b的图象如下，

当b=0时，有一个交点，是一个临界值，
当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与f（x）=$\sqrt{x}$相切时，
f′（x）=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1}{2}$；
故切点为（1，1）；
故b=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
结合图象可得，
0＜b$＜\frac{1}{2}$；
故答案为：0＜b$＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了导数的应用，函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用等，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．