Question

1．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{b{e^x}-1}}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e-1）²y-e=0．
其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）如果当x≠0时，f（2x）＜$\frac{1-k}{e^x}$，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；
（Ⅱ）f（x）=$\frac{x}{{{e^x}-1}}$，即有f（2x）＜$\frac{1-k}{e^x}$?$\frac{1}{{{e^{2x}}-1}}$[xe^x-$\frac{1-k}{2}$（e^2x-1）]＜0．                  
令函数g（x）=xe^x-$\frac{1-k}{2}$（e^2x-1）（x∈R），求出导数，对k讨论，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{{a（b{e^x}-1-bx{e^x}）}}{{{{（b{e^x}-1）}^2}}}$，
由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e-1）²y-e=0，
知1+（e-1）² f（1）-e=0，即f（1）=$\frac{a}{be-1}$=$\frac{1}{e-1}$，
f′（1）=$\frac{a（be-1-be）}{{{{（be-1）}^2}}}$=$\frac{-a}{{{{（be-1）}^2}}}$=-$\frac{1}{{{{（e-1）}^2}}}$．                 
解得a=b=1．                                               
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{x}{{{e^x}-1}}$，
所以f（2x）＜$\frac{1-k}{e^x}$?$\frac{2x}{{{e^{2x}}-1}}$＜$\frac{1-k}{e^x}$?$\frac{2x}{{{e^{2x}}-1}}$-$\frac{1-k}{e^x}$＜0，
?$\frac{1}{{{e^{2x}}-1}}$[xe^x-$\frac{1-k}{2}$（e^2x-1）]＜0．                  
令函数g（x）=xe^x-$\frac{1-k}{2}$（e^2x-1）（x∈R），
则g′（x）=e^x+xe^x-（1-k）e^2x=e^x（1+x-（1-k）e^x）．                     
①设k≤0，当x≠0时，由y=1+x-（1-k）e^x．
求得导数y′=1-（1-k）e^x，求得最大值，可得y＜0，即有1+x＜（1-k）e^x，
即有g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，
故当x∈（-∞，0）时，g（x）＞0，可得$\frac{1}{{{e^{2x}}-1}}$g（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得$\frac{1}{{{e^{2x}}-1}}$g（x）＜0，
从而x≠0时，f（2x）＜$\frac{1-k}{e^x}$．
②设k≥1，存在x₀＜0，当x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＞0，
g（x）在（x₀，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得$\frac{1}{{{e^{2x}}-1}}$g（x）＞0，
与题设矛盾，
③设0＜k＜1，存在x₁＜0＜x₂，当x₁＜x＜x₂时，g′（x）＞0，g（x）在（x₁，x₂）单调递增，
而g（0）=0，故当0＜x＜x₂时，g（x）＞0，可得$\frac{1}{{{e^{2x}}-1}}$g（x）＞0，与题设矛盾．
综上可得，k的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和正确求导是解题的关键．