Question

16．设函数f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期，由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤（2x+1）π，可解得函数的单调减区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）先求得g（x），由0≤x≤$\frac{π}{2}$，可求-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，从而可得$\frac{1}{2}$≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤2，即可求出f（x）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x
=-$\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+1+cos2x…2分
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1…4分
所以函数f（x）的最小正周期为π…5分
由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤（2k+1）π，可解得k$π-\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
所以单调减区间是：[k$π-\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z…8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=cos（2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$）+1=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1．  …（10分）
因为0≤x≤$\frac{π}{2}$，
所以-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
所以-$\frac{1}{2}$≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，…（12分）
因此$\frac{1}{2}$≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤2，即g（x）的取值范围为[$\frac{1}{2}$，2]． …（13分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换，综合性较强，属于中档题．