Question

4．如图是一个半径为1的半圆，AB是直径，点C在圆弧上且与A、B不重合，△ACD是等边三角形，设∠CAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
（1）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出△ABC的面积S_△ABC，再求出等边三角形△ACD的面积S_△ACD，计算四边形ABCD的面积即可；
（2）根据数据函数的恒等变换，求S的最大值即可．

解答 解：（1）在△ABC中，AB是直径，∴∠ACB=$\frac{π}{2}$；
∵∠CAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴AC=AB•cos∠CAB=2cosθ，
BC=AB•sin∠CAB=2sinθ；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC
=$\frac{1}{2}$×2cosθ×2sinθ
=2sinθcosθ
=sin2θ，
等边三角形△ACD中，AC=2cosθ，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC²•sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{1}{2}$×（2cosθ）²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$cos²θ
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴四边形ABCD的面积为
S=S_△ABC+S_△ACD
=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵S=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{7}}{2}$sin（2θ+α）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴当2θ+α=$\frac{π}{2}$时，S取得最大值是$\frac{\sqrt{7}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此时θ=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换的应用问题，也考查了求三角形的面积的应用问题，是综合性题目．