Question

4．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值
（1）f（x）=6x²+x+2，x∈[-1，1]，
（2）f（x）=x³-12x，x∈[-3，3]；
（3）f（x）=6-12x+x³，x∈[-$\frac{1}{3}$，1]
（4）f（x）=48x-x³，x∈[-3，5]．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的性质可得到函数的最值；
（2）求导并化简f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），从而得到函数的单调性，从而求最值；
（3）求导并化简f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），从而得到函数的单调性，从而求最值；
（4）求导并化简f′（x）=-3x²+48=-3（x+4）（x-4），从而得到函数的单调性，从而求最值．

解答 解：（1）∵f（x）=6x²+x+2图象的对称轴为x=-$\frac{1}{12}$，
∴f_min（x）=f（-$\frac{1}{12}$）=6（-$\frac{1}{12}$）²-$\frac{1}{12}$+2=$\frac{47}{24}$，
f_max（x）=f（1）=6+1+2=9；
（2）∵f（x）=x³-12x，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
∴f（x）在[-3，-2]上是增函数，在[-2，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，
且f（-3）=-27+36=9，f（-2）=-8+24=16，f（2）=8-24=-16，f（3）=-9，
∴f_min（x）=-16，f_max（x）=16；
（3）∵f（x）=6-12x+x³，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
∴f（x）在[-$\frac{1}{3}$，1]上是减函数，
∴f_min（1）=6-12+1=-5，f_max（-$\frac{1}{3}$）=6+4-$\frac{1}{27}$=$\frac{269}{27}$；
（4）∵f（x）=48x-x³，
∴f′（x）=-3x²+48=-3（x+4）（x-4），
∴f（x）在[-3，4]上是减函数，在[4，5]上是增函数，
且f（-3）=-144+27=-117，f（4）=192-64=128，f（5）=240-125=115，
∴f_min（x）=-117，f_max（x）=128．

点评 本题考查了二次函数的最值的求法及导数的综合应用，属于中档题．