Question

8．已知函数f（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，问是否存在λ，使函数f（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数．

Answer 1

分析 求f′（x）=x（4x²+4-2λ），所以根据函数f（x）的单调性即可得到：x∈（-∞，-1）时，4x²+4-λ2≥0；x∈（-1，0）时，4x²+4-2λ≤0，这样即可得出x=-1时4x²+4-2λ=0，代入x=-1，求出λ即可．

解答 解：f′（x）=x（4x²+4-2λ）；
要使f（x）在（-∞，-1）是减函数，在（-1，0）是增函数，则：
x∈（-∞，-1）时f′（x）≤0，x∈（-1，0）时f′（x）≥0；
∴x∈（-∞，-1）时，4x²+4-2λ≥0；x∈（-1，0）时，4x²+4-2λ≤0；
∴x=-1时，4+4-2λ=0，λ=4；
即存在λ=4，使函数f（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及要熟悉二次函数的图象．