Question

7．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|y=kx-1}，如果A∩B≠∅，则k的取值范围是$[\frac{1}{4}，4]$．

Answer 1

分析 由题意作出可行域，把A∩B≠Φ转化为直线y=kx-1与可行域有公共点，然后利用两点求直线的斜率得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥0}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$作出可行域如图，

要使A∩B≠∅，则直线y=kx-1与可行域有公共点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，得B（1，3），
又A（4，0），
直线y=kx-1过定点P（0，-1），
${k}_{PA}=\frac{-1-0}{0-4}=\frac{1}{4}$，${k}_{PB}=\frac{-1-3}{0-1}=4$．
∴k的取值范围是$[\frac{1}{4}，4]$．
故答案为：$[\frac{1}{4}，4]$．

点评 本题考查了集合运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．