Question

17．设P为双曲线C：x²-y²=1上一点，F₁、F₂分别为双曲线C的左右焦点，若cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$，则△PF₁F₂的外接圆的半径为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 9

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，得到焦距，再由同角的平方关系结合三角形中的正弦定理，可得外接圆的直径，进而得到半径．

解答 解：由cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$，
可得sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
双曲线C：x²-y²=1的a=b=1，c=$\sqrt{2}$，
即有|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{2}$，
在三角形PF₁F₂中，由正弦定理可得，
△PF₁F₂的外接圆的直径为$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{sin∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3，
即有△PF₁F₂的外接圆的半径为$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦距，同时考查正弦定理的运用，属于中档题．