Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx-$\sqrt{3}$cosx，-2），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（Ⅰ）求f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零点；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，△ABC的面积$S=\sqrt{3}$，当x=A时，函数f（x）取得极大值，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用向量的坐标运算求出三角函数的关系式，进一步利用三角函数关系式的恒等变换变性成正弦型函数，进一步求出函数的零点．
（Ⅱ）利用函数的关系式进一步求出A的大小，再利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=$（sinx+\sqrt{3}cosx，1）•（2sinx，-1）$
=$2\sqrt{3}sinxcosx+2{sin^2}x-1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$．（3分）
由f（x）=0，得$2x-\frac{π}{6}=kπ$（k∈Z），
则$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$（k∈Z），
因为$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，
所以f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零点是$-\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$．（6分）
（Ⅱ）根据题意f（A）=2，即$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，
所以$2A-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
因为0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$．
因为$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=\sqrt{3}$，
所以bc=4，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
得16=b²+c²-bc，
所以（b+c）²=16+3bc=28，
所以$b+c=2\sqrt{7}$．（12分）

点评 本题考查的知识要点：向量的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换，利用余弦定理和三角形的面积解三角形问题．