Question

16．如图△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=45°，且PD=2，BD=6，则AC=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=2，BD=6易得PA长，由∠ABC=45°结合弦切角定理，根据PE长求出AE长及ED，DB长，再根据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．

解答 解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8，
由切割线定理得PA²=PD•PB=16，
∴PA=4，
又∵PE=PA，∴PE=4，
又∠PAC=∠ABC=45°，
∴AE=4$\sqrt{2}$，
又DE=PE-PD=2，BE=BD-DE=4，
由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，
∴CE=$\sqrt{2}$，
∴AC=AE+CE=5$\sqrt{2}$，
故答案：$5\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，根据已知条件求出与圆相关线段的长，构造方程组，求出未知线段是解答的关键．