Question

4．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e²（a为实数）．
（1）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若存在两不等实数x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，e]，使方程g（x）=2e²f（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=5时，化简函数y=g（x），求出切点坐标，通过导数求解切点斜率，然后求解x=1处的切线方程；
（2）求解f（x）的导数，求出极值点，列表，然后求解在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）化简方程g（x）=2e²f（x），构造新函数，通过求解函数的导数，推出函数的极值以及区间上的最值，然后推出实数a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）当a=5时，g（x）=（-x²+5x-3）e²，g（1）=e．
g′（x）=（-x²+3x+2）e²，故切线的斜率为g′（1）=4e．
所以切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e．…（4分）
（2）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），
则f′（x）=lnx+1，lnx+1=0，解得x=$\frac{1}{e}$．

x	$（0，\frac{1}{e}）$	$\frac{1}{e}$	$（\frac{1}{e}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

①当t≥$\frac{1}{e}$时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（t）=tlnt．
②当t∈$（0，\frac{1}{e}）$时，在区间（t，$\frac{1}{e}$）上f（x）为减函数，在区间$（\frac{1}{e}，t+2）$上f（x）为增函数，
所以 f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$                              …（8分）
（3）由g（x）=2e²f（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，
令h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，h′（x）=1+$\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．

x	$（\frac{1}{e}，1）$	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

$h（\frac{1}{e}）=3e-2+\frac{1}{e}$，h（1）=4，$h（e）=e+2+\frac{3}{e}$．
$h（e）-h（\frac{1}{e}）=4-2e+\frac{2}{e}＜0$．
∴实数a的取值范围为4$≤a≤e+2+\frac{3}{e}$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，函数在闭区间上的最值的求法，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．