Question

12．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∠A₁AC=60°，∠BCA=90°．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC₁；
（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC₁与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．
（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A₁O，
由于平面ABC⊥平面AA₁C₁C，A₁O⊥AC，
所以：A₁O⊥平面ABC，
所以：A₁O⊥BC，
又BC⊥AC，
所以：BC⊥平面A₁AC，
又AC₁⊥A₁C，A₁C为A₁B的射影，
所以：A₁B⊥AC₁．
（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，
A（0，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），
则：$\overrightarrow{AB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{{BB}_{1}}=\overrightarrow{{CC}_{1}}=（0，1，\sqrt{3}）$，
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ABB₁A₁的法向量，
所以：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{{BB}_{1}}=0\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=0\\ y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$
求得：$\overrightarrow{m}=（-\sqrt{3}，\sqrt{3}，-1）$，
由E（1，0，0）
求得：$\overrightarrow{{EC}_{1}}=（-1，2，\sqrt{3}）$，
直线EC₁与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值
sinθ=cos$＜\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{m}＞$=$\left|\frac{\overrightarrow{{EC}_{1}}•\overrightarrow{m}}{\left|\overrightarrow{{EC}_{1}}\right|\left|\overrightarrow{m}\right|}\right|=\frac{\sqrt{42}}{14}$．

点评 本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力．