Question

2．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，点R（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．
（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则：曲线C的方程为ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，转化成$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．
（Ⅱ）设P（$\sqrt{3}cosθ，sinθ$）
根据题意，得到Q（2，sinθ），
则：|PQ|=$2-\sqrt{3}cosθ$，|QR|=2-sinθ，
所以：|PQ|+|QR|=$4-2sin（θ+\frac{π}{3}）$．
当$θ=\frac{π}{6}$时，（|PQ|+|QR|）_min=2，
矩形的最小周长为4，点P（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程转化成直角坐标方程，极坐标和直角坐标的互化，三角函数关系式的恒等变换，求正弦型函数的最值问题．