Question

13．已知sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），求sin（2α+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 解：根据同角三角函数关系式结合角的范围可求cos（α-$\frac{π}{6}$），由倍角公式可求得sin（2α-$\frac{π}{3}$），从而根据sin（2α+$\frac{π}{6}$）=sin（2α-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$）=cos（2α-$\frac{π}{3}$）即可求值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∴α-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），2α-$\frac{π}{3}$∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{5}$，sin2（α-$\frac{π}{6}$）=sin（2α-$\frac{π}{3}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$）cos（α-$\frac{π}{6}$）=2×$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=sin（2α-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$）=cos（2α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α-\frac{π}{3}）}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，诱导公式，倍角公式的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识是考查．