Question

1．C是曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$（-1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（-1，0）．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）=2cosθ-cos2θ，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），f（θ）的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由题意作出图形，再连结CO，从而可得点C的坐标为（-cos（180°-2θ），sin（180°-2θ））；从而化简可得f（θ）=2cosθ-cos2θ，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）；再由二倍角公式化简为二次函数的形式，从而求最大值．

解答 解：如右图，连结CO，
由图可知，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∵∠CAO=θ，
∴∠COA=180°-2θ，
∴点C的坐标为（-cos（180°-2θ），sin（180°-2θ））；
即点C的坐标为（cos2θ，sin2θ）；
∴AC=$\sqrt{（cos2θ+1）^{2}+si{n}^{2}2θ}$
=$\sqrt{2（1+cos2θ）}$
=2|cosθ|
=2cosθ，
CD=|cos2θ|=-cos2θ，
故f（θ）=2cosθ-cos2θ，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）；
f（θ）=2cosθ-cos2θ
=-2cos²θ+2cosθ+1
=-2（cosθ-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
故当cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，
f（θ）有最大值$\frac{3}{2}$．
故答案为：2cosθ-cos2θ，θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）；$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的性质与应用及三角恒等变换的应用，同时考查了函数的最值的求法，属于中档题．