Question

11．设异面直线a，b所成角为θ，点P为空间一点（P不在直线a，b上），有以下命题
①过点P存在唯一平面与异面直线a，b都平行
②若θ=$\frac{π}{2}$，则过点P且与a，b都垂直的直线有且仅有1条．
③若θ=$\frac{π}{3}$，则过点P且与a，b都成$\frac{π}{3}$直线有且仅有3条．
④若过点P且与a，b都成$\frac{π}{3}$直线有且仅有4条，则θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
⑤若过点P且与a，b都成$\frac{π}{3}$直线有且仅有2条，则θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．
其中正确命题的序号是①②③⑤（请填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 根据异面直线a与b所成的角，P为空间一点，过P分别作直线a，b的平行线，得到∠APB=θ，过P点作直线c，d分别是角∠APB的平分线和面APB的垂线，这时c与a，b所成角为$\frac{θ}{2}$，d与a，b所成角为90°，然后直线从c转到直线d的过程中一定经过30°、50°、60°、70°的角，可求出直线的条数．

解答 解：对于以①，只要过P分别作直线a，b的平行线，a'，b'，则a'与b'相交，确定一个平面，根据线面平行的判定，直线a，b与此平面平行；故①正确；
对于②，因为过一点与已知平面垂直的直线只有一条，过P分别作直线a，b的平行线，a'，b'，则a'与b'相交，确定一个平面，过P与此平面垂直的直线只有一条；故②正确；
对于③，过P作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，异面直线a、b成60°角，直线a′、b′所成锐角为60°，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条；故③正确；
对于④∵异面直线a，b成角为θ，过空间一定点P作直线l与a，b成角都为$\frac{π}{3}$的直线有4条，
∴过空间一定点P作直线a′∥a，b′∥b．
则直线a′与b′相交形成4个角，大小分别为θ，π-θ，θ，π-θ．
∵过空间一定点P作直线l与a，b成角都为$\frac{π}{3}$的直线有4条，
∴$\left\{\begin{array}{l}{θ＜\frac{2π}{3}}\\{π-θ＜\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$
∴$\frac{π}{3}＜θ＜\frac{2π}{3}$，
又∵0＜θ≤$\frac{π}{2}$
∴θ的取值范围为（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]；故命题④错误；
对于⑤，若过点P且与a，b都成$\frac{π}{3}$直线有且仅有2条，∴过空间一定点P作直线a′∥a，b′∥b．
则直线a′与b′相交形成4个角，大小分别为θ，π-θ，θ，π-θ．
∵过空间一定点P作直线l与a，b成角都为$\frac{π}{3}$的直线有2条，则θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）．故⑤正确；
故答案为：①②③⑤

点评 本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和运动变化的思想方法