Question

12．关于x的方程2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集中一个元素是0，求a的取值范围并用a表示出该不等式解集．

Answer 1

分析 把0代入2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0，得到3+a-2a²＜0，由此求得a点的范围，然后求出方程2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）=0的两根，再由a的范围求得不等式的解集．

解答 解：∵x=0是不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集中一个元素，
∴3+a-2a²＜0，解得a＜-1或a$＞\frac{3}{2}$，
二次不等式对应的二次方程为2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）=0，
其两根为3-2a，$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$，
当a＜-1时，3-2a＞$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$，
∴不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集为{x|$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}＜x＜3-2a$}；
当a$＞\frac{3}{2}$时，3-2a＜$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$，
∴不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集为{x|3-2a＜x＜$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查了二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．